Разработка математической модели формирования сигналов с датчиков функционального состояния животных
Для создания методов и алгоритмов обработки производственной информации животноводческого предприятия, дающих более достоверный результат, необходимо проанализировать структуру данных, получаемых с сенсоров биологической информации и построить их математическую модель.
На основе построенной модели необходимо синтезировать данные и проверить работоспособность разрабатываемых методов на тестовых значениях.Данные о производственном процессе и состоянии животного на предприятиях молочного животноводства представляют собой сигнал, поступающий с сенсоров, установленных на коровах и объектах производства. Рассмотрим сигнал, получаемый с датчика измерения молокоотдачи животного и будем рассматривать его как случайную функцию - smoji (t). Методы анализа исследуемого сигнала позволят установить некоторые изменения в состоянии животных. В нормальном состоянии, когда показатель молокоотдачи соответствует норме smoπ (t) = 0, при наличии каких-либо непредвиденных изменений в значении производственного показателя smoπ (t) = 1. Тем не менее, как показано в работе [195] параметр молокоотдачи отклоняется от нормы без видимой причины довольно часто, что говорит о присутствии некоторой шу-
мовой составляющей ε.Наличие εобусловлено случайными колебаниями показателя ежедневной молочной продуктивности животного или погрешностью измерения количества регистрируемого сенсором объема молока.
Отметим характер распределения молочной продуктивности в течение лактационного цикла. Нормальным периодом лактации животного является интервал от 300 до 305 дней. При этом на протяжении всего периода доения количество молока, получаемого от одной особи в сутки, неодинаково. График надоев от одного животного по дням в течение лактации называется лактационной кривой. Динамика изменения лактационной кривой характеризуется резким взрывным увеличением количества молока в первые месяцы лактации.
Максимальное значение суточного надоя достигается во 2-3 месяце лактации, после чего уровень получаемого молока начинает постепенно сокращаться и сходит на нет к началу сухостойного периода. Естественно, что графики лактационных кривых на разных предприятиях, с разным уровнем условий содержания животных могут отличаться, но, тем не менее, наличие резкого увеличения надоев вначале и плавное завершение лактации сохраняется. Представим кривую молокоотдачи в виде функции тжл(t). Кривая, описывающая сигнал, фиксируемый сенсором измерения молокоотдачи представлена на рисунке 2.1.Фактически представленный график кривой лактации является неким ориентиром или эталоном идеально прошедшей лактации животного.
Рисунок 2.1. - Лактационная кривая
В модели следует учесть, что лактации разных животных начинаются в разный период времени, поэтому, если принять начальный момент времени лактации за t1,то необходимо осуществить смещение функции тмол(t) относительно начального значения. Таким образом, кривая молокоотдачи, смещенная во времени относительно начала доения описывается как тмол(t - tl).
Тем не менее, даже общая лактационная кривая, полученная путем усреднения данных от животных по всему предприятию, имеет случайные нехарактерные колебания на всем протяжении распределения функции. Подобные колебания необходимо компрессировать, так как в итоге они пагубно влияют на достоверность разрабатываемой модели данных.
В работах [135, 173]показано, что даже зная основные характеристики кривой распределения молочной продуктивности в течение лактации, сложно спрогнозировать ее развитие для каждого отдельно взятого животного. Это обусловлено резкими, порой неожиданными скачками показателя ежедневной молокоотдачи (особенно в первые месяцы), представленные на рисунке 2.2.
Причины данных колебаний предсказать весьма сложно, так как особи на предприятии являются живыми организмами и любое даже самое малое воздействие извне может повлечь за собой резкие перепады в значениях производственных показателей.
Таким образом, чтобы компенсировать в математической модели входных данных приведенные на рисунке 2.2 перепады значений показателя молокоотдачи, введем функцию σmι (t).
Рисунок 2.2 - Резкие перепады параметра молокоотдачи в первые месяцы доения для одной особи
Лактации разных животных начинаются в разный период времени, поэтому, как и в случае с общим уравнением кривой молокоотдачи осуществим временной сдвиг функции σ^ (t). Таким образом, функция, отражающая наличие колебаний и перепадов значений параметра, будет обозначена как σ (t — t).
мол к 17
Таким образом, имеем математическую модель параметра ежедневной молочной продуктивности животного следующего вида:
где sMon(t)- полезный сигнал, содержащий информацию о нехарактерном изменении состояния животного, 8мол - нормально распределенная случайная величина, где m(t) = 0 и σ(t) = 1, mMan(t)- функция молокоотдачи, омол(ї) - функция, учитывающая уровень колебаний параметра молочной продуктивности каждого животного индивидуально.
Чтобы исключить колебания функции тжл(t), заменим ее наиболее близкой по своему поведению известной функцией.
Функцию аппроксимации необходимо выбирать, исходя из особенностей изменения графика лактационной кривой: взрывной рост и достижение максимума в начале и плавное убывание значений функции к концу отрезка. Подобное поведение демонстрирует семейство схожих функций, описывающих различные физические процессы, например, распределение энергии теплового излучения абсолютно черного тела, распределение молекул идеально
го газа по скоростям и другие. К таким функциям можно отнести распределения: Больцмана, Вина, Максвелла, а также формулу Планка.
Также для аппроксимации возможно использование решения дифференциального уравнения второго порядка, описывающего затухающее колебательное движение.
В качестве коэффициента затухания используется логарифмический декремент. При определенных условиях поведение функции приобретает апериодический характер, что дает основание применить данный закон в качестве функции аппроксимации для лактационной кривой.Необходимыми для успешной аппроксимации свойствами обладает также ряд законов, описывающих распределение плотности вероятностей случайных величин и используемых в математической статистике. Подобные распределения обладают смещенным центром рассеяния случайной величины, что позволяет достигнуть необходимой степени точности при аппроксимации взрывного роста кривой лактации на начальной стадии. Также необходим ввод дополнительного параметра, нивелирующего нормирование функции плотности распределения. К описанным статистическим законам можно отнести распределения: Пуассона, хи-квадрат, Вейбулла.
В качестве функций аппроксимации будем использовать следующие: формулы для распределений Максвелла, Вейбулла и уравнение свободного затухающего колебания. Процесс аппроксимации будем осуществлять с помощью метода наименьших квадратов. В таблицах 2.1, 2.2 приведены экспериментальные результаты поиска функции максимального приближения.
Таблица 2.1. Графики, демонстрирующие результаты аппроксимации лактационной кривой с помощью распределения Максвелла, Вейбулла и уравне-
ния затухающих колебаний
| Функция ап- | График аппроксимации |
| проксимации | |
| 1 | 2 |
Таблица 2.2. Результаты аппроксимации лактационной кривой с помощью распределения Максвелла, Вейбулла и уравнения затухающих колебаний
69
Из таблиц 2.1, 2.2 видно, что наибольшая точность аппроксимации достигается при помощи апериодической одноэкстремальной затухающей ненормированной функции Вейбулла.
Таким образом, кривая молокоотдачи приобретает следующий вид:
где к - коэффициент формы, λ - коэффициент масштаба, a- амплитуда. Исследовав структуры других сигналов, поступающих с сенсоров, получили различные типы кривых, графики которых приведены на рисунке 2.3.
Стоит отметить, что различные сигналы имеют различную динамику изменения в течение лактационного цикла. Также зависимость резких перепадов значений датчика от стадии лактации отмечены не для каждого параметра, следовательно, для некоторых сигналов значение функции σ(t) = const. В некоторых случаях общая динамика изменения графика параметра имеет характер прямой, следовательно, m(t)не является функцией и равна константе.
Характер изменения значений параметра веса животного в первые несколько недель лактации после отела некоторое время имеет тенденцию к 70
снижению, достигая своего минимума ко второму месяцу цикла. Затем идет плавное увеличение животной массы, как показано на рисунке 2.3 а. Так как распределение живой массы за время производственного цикла неодинаково, делаем вывод, что mβec(t)является функцией. Резкие перепады массы животного не являются нормой, кроме периода отела, тем не менее, небольшие колебания данного параметра равномерно распределены на протяжении всего периода лактации, поэтому, в данном случае, функция σβec = const.
Рисунок 2.3 - Графическое представление сигналов, полученных с биологических сенсоров животноводческого предприятия
Сигнал, поступающий с датчика, измеряющего электропроводность молока, также имеет некоторую закономерность в динамике изменения. Согласно работе [126]за производственный цикл животного качественный состав молока значительно изменяется, следовательно, изменяется и электропроводность.
Так исследования, приведенные в [126]показывают, что в начале лактации, как правило, значение проводимости молока может превы- 71шать норму в два раза. К четвертой неделе лактации показатель стабилизируется и находится в состоянии равновесия до окончания 8-ого месяца лактационного цикла. Далее, в последние недели перед сухостойным периодом, отмечается резкое увеличение значения показателя и выход его за границы нормы (рисунок 2.3б). Таким образом, динамика распределения значений параметра неодинакова и m3n(t)является функцией. При исследовании сигнала в [126]отмечается, что небольшие колебания значений допустимы и возможны, резкие ежедневные нехарактерные скачки параметра нормой не являются и не зависят от стадии периода лактации. Таким образом, функция σ3n = const.
Данные об активности и количестве передвижений животного также регистрируются специальным датчиком. В ряде работ [9, 106, 178]указывается, что рассматриваемый параметр стабилен на протяжении всего лактационного периода. График изменения активности животного по месяцам производственного цикла имеет характер прямой и приведен на рисунке 2.3в. Небольшое ежедневное колебание активности у животных возможно, но уровень колебаний, как правило, незначительный. Стабильный характер графика с малым количеством колебаний показывает, что maκm = const.В работах [9,106, 178], посвященных выявлению охоты у животных показано, что в первые недели лактации может возникать резкое однодневное увеличение активности. В данном случае подобные изменения являются частью полезного сигнала Saκm(t),а функция σaκm = const,так как график функции не имеет участков с резкими ежедневными колебаниями, зависящими от стадии лактации.
Информация о длительности машинного доения собирается и регистрируется специальным сенсором. Результаты исследования, представленные в работах [115, 204]приводят оптимальное время доения животного в пределах от 4 до 6 минут. Отмечается высокая степень корреляции между параметром объема отданного молока и временем машинного доения. Взрывной рост мо- локоотдачи в первые недели лактации приводит к увеличению времени доения, далее постепенное снижение объемов отданного молока к концу лакта
ции способствует уменьшению времени, затраченного на машинное доение. Как видно из графиков, приведенных на рисунках 2.1, 2.3г, кривые лактации и времени доения действительно обладают определенной схожестью. Это говорит о том, что в данном случае mβd(t)является функцией, так как имеется четко выраженная кривая изменения значения параметра за время лактации. Резкие колебания параметра молокоотдачи в первые несколько недель производственного цикла, компенсированные в математической модели с помощью функции σβd(t),также имеют прямое влияние на время получения молока доильным аппаратом. Поэтому, так же как и в случае с параметром моло- коотдачи σβd(t)будет являться функцией.
Обозначения членов, содержащихся в уравнениях математических моделей рассмотренных входных параметров, сведены в таблицу 2.3.
Таблица 2.3. Структура выходных сигналов с сенсоров животноводческого предприятия
| Входные параметры | Полезный сигнал | Стандартная случайная величина | Математическое ожидание | Колебания параметра в начале периода наблюдения |
| Молокоотдача | S.M6W(t) | ^мол | mMθΛ(t) | σMOΛ^t^ |
| Электропровод ность | S3n(t) | ε'>n | m3n(t) | σ3n = const |
| Время доения | Sβd(t) | εβ∂ | mβd(t) | σβ∂(t) |
| Вес | Sβec(t) | εβec | mβec(t) | σβec = const |
| Активность | SaKm(t') | εaκm | maκm = Const | σaκm const |
2.2