Формула Рэлея — Джииса

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функ­цию f(ω,T), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колеба­ние приходится в среднем энергия, равная двум половни­кам kT— одна половинка на электрическую, вторая—на магнитную энергию волны (напомним, что по класси­ческим представлениям на каждую колебательную сте­пень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT).

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излуче­ния будет распределена в объеме полости с определен­ной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и (ω,Т), определяемой условием: du_ω = и(ω,Т)dω, где du_ω — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

(18)

Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зави­сит только от температуры и не зависит ют свойств сте­нок полости. Это следует из термодинамических сообра­жений. Рассмотрим две полости, стенки которых изгото­влены из разных материалов и имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, u₁(Т)> u₂(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 5) и тем самым позволим стенкам по­лостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению u₁ > u₂, поток энергии из первой по­лости во вторую должен быть больше, чем поток, теку­щий во встречном направлении.

В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой по­лости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термо­динамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости u₁ и и₂ должно быть признано неправомерным. Вывод о ра­венстве u₁(Т) и и₂(Т) распространяется на каждую спек­тральную составляющую u(ω,Т).

Независимость равновесного излучения от природы стенОк полости можно пояснить следующими соображе­ниями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Ф_э и испускали бы такой же по величине поток энергии Ф_э. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФ_э упавшего на них по­тока Ф_э и отразят поток, равный (1—а)Ф_э. Кроме того, они излучат поток аФ_э (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—а)Ф_э + аФ_э, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R^*_э простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

В случае плоской волны (т. е. когда энергия перено­сится волной в одном, определяемом вектором k напра­влении) плотность потока энергии I может быть пред­ставлена как произведение плотности энергии и на ско­рость волны с: I = си. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное количество волн, направления которых равномерно распре­делены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ будет заключен поток энергии, плотность кото­рого равна:

.

Возьмем на поверхности полости элементарную пло­щадку ΔS . Эта площадка посылает в пределах телесного угла в направлении, образующем с нор­малью угол , поток энергии:

По всем направлениям, заключенным в пределах те­лесного угла 2π, площадка ΔS посылает поток энергии:

.

Вместе с тем поток Ф_э должен быть таким, какой из­лучали бы абсолютно черные стенки. Последний же по­ток по определению равен R^*_эΔS. Следовательно,

(19)

Соотношение (19) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда выте­кает, что

(20)

Рэлей и Джине исходили из того, что равновесное из­лучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что заме­на поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий. Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепи­педа со сторонами a, b и с. Совместим с ребрами паралле­лепипеда координатные оси х, у, z . Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид:

(21)

где k_x — модуль волнового вектора, совпадающий в дан­ ном случае с проекцией волнового вектора на ось х.

(22)

В этом случае стоячая волна с данным значением "к (т. е. k) представляет собой суперпозицию восьми бегу­щих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны:

Одинаковые по модулю векторы k, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел k_x, k_y и k_z, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое отно­сится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координат­ной плоскости yz, векторы (1) и (3) — относительно пло­скости xz и т. д.

Каждая тройка чисел т₁ т₂ и т₃ определяет возмож­ное значение волнового числа:

По определению k = 2π/λ = ω/с. Следовательно, каж­дой тройке чисел m₁ m₂ и m₃ соответствует возможное значение частоты стоячей вол­ны ω (или длины волны λ). Определим количество возмож­ных частот dN_ω, попадающих в интервал dω. Для этого возь­мем прямоугольную систему координат с осями k_x, k_y, k_z (рис. 6). Такую систему на­зывают координатной системой в k-пространстве. Каждой стоя­чей волне с данным значением k будет соответствовать в k-пространстве точка с коорди­натами, определяемыми усло­виями (22) (точки разме­щаются в октанте с положительными k_x, k_y, k_z).

Количество волн dN_k, для которых мо­ дуль волнового вектора лежит в пределах от k до k + dk, равно количеству точек в ⅛ объема шарового слоя тол­щины dk (см рис. 6):

(23)

(V — объем полости). Произведя в (23) замену: k = ω/с, dk = dω/c, найдем число волн dN_ω, частоты ко­торых попадают в интервал от ω до ω + dω:

(24)

Вдоль заданного направления могут распространять­ся две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризован­ные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе ко­лебаний dn_ω, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим:

(25)

Умножив (25) на среднюю энергию одного колеба­ния, получим приходящуюся на интервал частот dω энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. u(ω,T)dω. Исходя из закона равнораспределения энер­гии по степеням свободы, Рэлей и Джине приписали каждому колебанию энергию, равную kT (см. выше). В этом случае

или

(26)

Перейдя от и(ω,Т) к f(ω,Т) по формуле (26), по­лучим:

Выражение (26), равно как и (25), называется формулой Рэлея — Джинеса.

Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согла­суется с экспериментальными данными лишь при боль­ших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 7), на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пункти­ром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).

Интегрирование выражения (23) или (24) по со в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости R^*_э бес­конечно большие значения.- Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливает­ся при конечных значениях и(Т).