8.20. Примеры решения задач по физике твердого тела

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Найдите энергию испущенного при этом фотона.

n1=4, n2=2.	По теории Бора . Таким образом, необходимо найти выражение для энергии электрона атома водорода.
hυ -?

Полная энергия электрона: .

Упростим это выражение, воспользовавшись условием равновесия электрона на орбите . ^[9].

Скорость электрона на боровской орбите найдем из второго постулата Бора и условия устойчивости: .

Для энергии электрона получаем: .

Постоянной придают вид: .

Итак: ^[10].

.

Ответ: атом водорода испустит фотон с энергией 2,56 эВ.

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) U₁=51,0 В; 2) U₂=510 кВ.

U1=51,0 В, U2=510 кВ.	Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса и определяется формулой: .
λi -?

Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы). Воспользуемся более общим случаем – релятивистским.

В релятивистском случае: , здесь: – энергия покоя частицы, кинетическая энергия .

В итоге: .

.

=.

Ответ: длины волн де Бройля 0,17^.10^-9м и 0,17^.10^-11м.

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т=10,0 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Т=10,0 эВ.	Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид: .
ℓ -?

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее измеряется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры ℓ, тoгда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью . И соотношение неопределенностей принимает вид: .

Разумно считать неопределенность импульса Δp не более самого импульса р, т. е. . Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением .

Теперь: .

Проверим наименование: .

.

Ответ: атом водорода имеет размеры не менее 120 пм.

Пример 4. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

.	Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm и есть разность между суммой масс свободных нуклонов
Δm, Eсв -?

(протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е. .

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_a нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: , .

Теперь: .

Учтем, что , где т_H – масса атома водорода, окончательно находим.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии .

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко: или .

Подставив числовые значения масс (см. прил., табл. 15 и 17), получим:

(МэВ).

Ответ: дефект массы ядра лития 0,04216 а.е.м. , а энергия связи 39,2 МэВ.

Пример 5. При соударении α-частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых, ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Найти порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и подсчитать ее энергетический эффект.

, , .	Обозначим неизвестное ядро символом . Так как α-частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид: .
Z,A,E -?

Для нахождения массового числа воспользуемся законом сохранения числа наклонов: .

Применив закон сохранения заряда, получим уравнение .

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде: .

Энергетический эффект Е ядерной реакции находится по дефекту массы: .

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер.

Подставив массы атомов (см. прил. табл. 15) в расчетную формулу, получим

.

Ответ: в результате реакции рождается изотоп углерода и выделяется энергия 4,06 МэВ.

Пример 6. Найдите начальную активность A₀ радиоактивного препарата магния массой m=0,20 мкг, а также его активность А через время t=6 ч. Период полураспада T½ магния считать известным.

, m=0,20 мкг, t=6 ч, мин.	Воспользуемся определением активности препарата и законом распада: . Т.к. , то
А0, А -?

Начальная активность: .

.

.

Ответ: Препарат начнет распадаться со скоростью 5,1 ТБк. Через 6 ч активность препараты станет 81 Бк.