8.8. Примеры решения задач по молекулярной физике и термодинамике

Пример 1. Найдите число молекул N, содержащихся в объеме V=1,0 мм³ воды, и массу m₀ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

V=1,0 мм3 ρ=1000 кг/м3 μ=18 г/моль		Для нахождения числа молекул воспользуемся определением моля:
N, m0, d – ?

.

Проверим наименование: , т.е. неименованное число.

Массу одной молекулы т₀ найдем из определения молярной массы: .

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V₁=d³ (см. рис.). Отсюда: .

Ответ: 1,0 мм³ воды содержит 3,3^.10¹⁹ молекул. Молекула воды имеет массу 3,0^.10^{-23 г} и диаметр 3,1^.10^{-8 см}.

Пример 2. В баллоне объемом находится гелий под давлением p₁=1,0 МПа и температуре T₁=300 К. После того как из баллона было взято Δm=10,0 г гелия, температура в балконе понизилась до T₂ =290 К. Вычислить давление гелия p₂, оставшегося в баллоне.

μ=4 г/моль V=I0,0 л p1=1,0 МПа T1=300 К.	Исходное состояние	Для решения задачи дважды (два состояния) воспользуемся УМК-ой: .
Δm=10,0 г T2 =290 К.	Конечное состояние
p2 - ?

Система содержит три неизвестных. Дополним ее данными задачи: и получим: .

Проверим наименование:

.

.

Ответ: давление оставшегося газа 0,36 МПа.

Пример 3. Баллон содержит m₁=80,0 г кислорода и m₂=320 г аргона. Давление смеси р=1,0 МПа, температура T=300 К. Принимая данные газы за идеальные, вычислить объем V баллона.

.

.

Ответ: объем сосуда 26,2 л.

Пример 4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода Е_в при температуре Т =350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой m =4,0 г.

. .

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа . .

Ответ: на вращательные степени движения молекулы кислорода приходится энергия 4,83^.10^-21 Дж, энергии вращательного движения всех молекул составляет 360 Дж.

Пример 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме с_v и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

μ1=20 г/моль, μ2=2 г/моль, i1=3, i2=5.	Удельные теплоемкости идеальных газов задаются соотношениями: и ,
cVi, cpi - ?

где i - число степеней свободы молекулы газа.

Произведем вычисления:

, .

, .

Ответ: удельные теплоемкости неона , ; для водорода – , .

Пример 6. Вычислить удельные теплоемкости c_v и c_р смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют ω₁=80% и ω₂=20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

.

Аналогично для .

,

.

Ответ: удельные теплоемкости смеси соответственно 2580 Дж/кг К и 3730 Дж/кг К.

Пример 7. Кислород массой m=2,0 кг занимает объем V₁=ℓ,0 м³ и находится под давлением р₁ =0,2 МПа.

m=2,0 кг, μ=32 г/моль, V1=ℓ,0 м3, р1 =0,2 МПа, V2=3,0 м3, р3=0,5 МПа		Воспользуемся формулой работы для газов:
A, Q, ΔU -?

.

Аналогично: .

Вычисление удельных теплоемкостей рассмотрено в задаче №5.

Есть короткий путь.

Найдем изменение внутренней энергии: . Для двухатомного газа i=2. Начальную и конечную температуру находят из УМК-а: , .

Объединив, получаем: .

Согласно первому началу термодинамики:

.

Вычисления:

.

.

.

Ответ: внутрення энергия газа возрастает на 2,2 МДж за счет совершения над ним работы в 0,4 МДж и передаче ему теплот в 1,8 МДж.

Пример 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T₁=300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n₁=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂=5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

μ=2 г/моль, m =0,02 кг, Т1=300 К, n1=5, n2=5 γ=1,4.		Для адиабатного процесса справедливо уравнение Пуассона: .
Т2, Аi - ?

Из первого начала термодинамики для адиабатного процесса .

Для изотермического процесса: .

.

.

.

Ответ: при адиабатном расширении газ совершил работу 59 кДж, охладился до температуры 157 К, а при изотермическом сжатии была затрачена работа 8,4 кДж.

Пример 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁=500 К. Вычислить термический к. п. д. цикла и температуру T₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А=350 Дж.

Т1=500 К, Q1=1,0 кДж, А=350 Дж.	По определению . С другой стороны, для цикла Карно справедлива формула Клаузиуса:
η, Т2 - ?

.

Ответ: к.п.д. цикла 35%, температура холодильника 325 К.

Пример 10. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d=10,0 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

чайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление: . .

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ΔS, выражается формулой: .

В данном случае – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря.

. .

Ответ: при выдувании пузыря затратили 25 мДж. Дополнительное давление 3,2 Па.